武陵高中108學年度第一學期二年級科學班數學科第二次段考

多重選擇題

1. $若\vec{a}、\vec{b}、\vec{c}為空間中三個向量，試問下列何者為真？$

   ( A ) $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

   ( B ) $\vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\cdot\vec{c}$

   ( C ) $\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$

   ( D ) $若 \vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot\vec{c}，且|\vec{a}|\neq0，則\vec{b}=\vec{c}$

   ( E ) $若存在兩實數x, y使得x\vec{a}+y\vec{b}=\vec{0}，則x=y=0$

2. 已知$f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d$為三次實係數多項式，試問下列敘述何者正確？

   ( A ) $方程式f(x)=0至少有一個有理根$

   ( B ) $若f(i)=0，則x\cdot f(x)+1=0必有實根$

   ( C ) $若f(x)除以(x-1)的餘式為2$，$則商式Q(x)是一個係數均為正數的多項式，則f(x)=0一定沒有大於1的實根$

   ( D ) $若f(1+\sqrt{5})=0$，則$f(x)=0$恰有3個實根

   ( E ) 若不等式$(x+1)(x+2)f(x)<0$的解為$x<-2$或$-1<x<0$，則對任意實數$x，ax^2+bx+c$恆成立

3. 設三次實係數多項式$f(x)$除以$x-1，x-2，x-3$所得餘式依次為$1、2、5$，且令二次多項式$g(x)=1\cdot\frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}+2\cdot\frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}+5\cdot\frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}$，試問下列何者正確？

   ( A ) $g(5)=49$

   ( B ) $f(1)=g(1)$、$f(2)=g(2)$、$f(3)=g(3)$、$f(4)=g(4)$

   ( C ) $f(x)除以(x-1)(x-2)的餘式為x$

   ( D ) $f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3)的餘式為g(x)$

   ( E ) $沒有實數x滿足f(x)=g(x)$

填充題

1. $若P為\Delta ABC內部一點(不在邊界上)，且3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=k\vec{AB}，試求實數k的範圍$
2. $在同一平面上，有兩三角形\Delta ABC和\Delta PQR$，若$\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}=\vec{BC}$，$\vec{QA}+\vec{QB}+\vec{QC}=\vec{CA}$，$\vec{RA}+\vec{RB}+\vec{RC}=\vec{AB}$，試問$\Delta ABC$面積為$\Delta PQR$的幾倍?
3. $已知\overline{AB}是兩歪斜線L_1與L_2的公垂線段$，且點$A, B$分別在$L_1, L_2$上，$\overline{AB}=4$，$L_1與L_2$兩方向向量的一夾角為$30^\circ$，今在$L_1$上取一點$P$，使$\overline{AP}=6$，試求$P$到$L_2$的距離
4. 有一長方形紙板$ABCD$，$\overline{AB}=3$，$\overline{AD}=4$，$ABCD$沿著對角線$\overline{AC}$折起，使得兩平面$ABC$與$ADC$的兩面角為$60^\circ$，試求$\overline{BD}$之長
5. 若方程組

$$ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\ a_2x+b_2y=c_2\ \end{cases} $$

之解為$(x,y)=(2,-3)$，試求方程組

$$ \begin{cases} (2a_1-3b_1)x+b_1y+2c_1=0\ (2a_2-3b_2)x+b_2y+2c_2=0\ \end{cases} $$

之解

6. 設$H$為$\Delta ABC$之垂心，已知$\overline{BC}=5$，$\overline{CA}=6$，$\overline{AB}=4$，令$\vec{AH}=\alpha \vec{AB} + \beta\vec{AC}$，求數對$(\alpha, \beta)$

7. 若$a\in \mathbb{Z}$，且方程式$||x-1|-2|=a$恰有3個不同的整數解$x_1, x_2, x_3$，試求$x_1+x_2+x_3+a$之值

8. 如圖所示，已知直圓柱底半徑為$6$，高為$8$，$O、O’$是兩底面的圓心;$A、B$兩點分別在兩底面的圓周上，又$\overline{AB}=10$，試求直線$\overleftrightarrow{AB}與軸\overleftrightarrow{OO’}之間的距離$

9. 若$|\vec{AB}|=4，|\vec{AC}|=2$，$和\vec{AB}和\vec{AC}夾角60^{\circ}$，若$\vec{AP}=x\vec{AB}+y\vec{AC}$，且$-1\leq x \leq 3$，$0 \leq y \leq 2$，$0 \leq x+y \leq 3$，試求一切$P$點軌跡所成之圖形面積

10. 若 $a<b$，已知對任意實數$x$，$ax^2+bx+c \geq 0$恆成立，且$m<\frac{a+b+c}{b-a}$，試求實數m之範圍

11. 如圖，有一邊長為$1$的正立方體，今置頂點$A$於空間座標系中之原點$(0,0,0)$，置頂點$B$於正$z$軸上，試求頂點$C$之$z$座標

計算證明題

1. 空間中不共平面的三向量$\vec{a}=(a_1,b_1,c_1)$，$\vec{b}=(a_2,b_2,c_2)$，$\vec{c}=(a_3,b_3,c_3)$，試證明由$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$所決定的平行六面體之體積為三階行列式

   $$ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3
   \end{vmatrix} $$

   的絕對值 (11分)

2. (1) 敘述牛頓整係數一次因次檢驗法 (7分)

   (2) 因次分解$27x^4 - 54x^3 + 54x^2 + 26x - 13$成整係數的多項式乘積 (5分)

3. 函數$f(x)=\sqrt{40-x}+\sqrt{x}+\sqrt{13-x}$，其中$0 \leq x \leq 13$，試問：

   (1) 若$[a(40-x)+x+b(13-x)]\times[m+n+l]\geq [\sqrt{40-x}+\sqrt{x}+\sqrt{13-x}]^2$，且$a, b$均為正數，$m,n,l \in \mathbb{R}$，試求等號成立時，數對$(a,b)$ (8分)

   (2) 求$f(x)$的最大值及此時的$x$值 (8分)